प्रश्न 4 यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक m के लिए या 3m + 1 के रूप का होता है।
हल -
माना a कोई धनात्मक पूर्णांक है तथा q भागफल है
क्लिड विभाजन प्रमेयिका से
a = 3q + r
स्थिति - I यदि r = 0
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर
(a)²=(3q)²
a²=9q²
a²=3х3q²
a²=3m
जहाँ m = 3q²
स्थिति - II यदि r = 1
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर
(a)²=(3q+1)²
(a)²=(3q)²+ (1)² + 2х3qх1
a²=9q² + 1 + 6q
a²=9q²+ 6q + 1
a²=3q(3q + 2) + 1
a²= 3m + 1
जहाँ m = q(3q + 2)
स्थिति - III यदि r = 2
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर
(a)²=(3q+2)²
(a)²=(3q)²+ (2)² + 2х3qх2
a²=9q² + 4 + 12q
a²=9q²+ 12q + 3 + 1
a²=3(3q² + 4q + 1) + 1
a²= 3m + 1
जहाँ m = 3q² + 4q + 1