प्रश्न  5  यूक्लिड  विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पुर्णांंक का घन 9m, 9m + 1 या 9m + 8 के रूप का होता है 

हल - माना धनात्मक पूर्णांक  है

यूक्लिड  विभाजन प्रमेयिका से,

स्थिति  - I

जब r = 0 हो

a = 3q + 0

a = 3q

दोनों पक्षों का घन करने पर

(a)³ = (3q)³

a³ = 27q³

a³ = 9(3q³)

a³ = 9m

जहाँ m = 3q³

स्थिति  - II

जब r = 1 हो

a = 3q + 1

दोनों पक्षों का घन करने पर

(a)³ = (3q+1)³


a³ = (3q)³ + (1)³ + 3.3q.1.(3q + 1)

a³ = (3q)³ + 1 + 9q(3q + 1)

a³ = 27q³  + 1 + 9q(3q + 1)

a³ = 27q³ + 9q(3q + 1) + 1

a³ = 9(3q³ + 3q² + q) + 1

a³ = 9m + 1

जहाँ m = 3q³ + 3q² + q

स्थिति  - III

जब r = 2  हो

A = 3q + 2

दोनों पक्षों का घन करने पर

(a)³ = (3q+2)³


a³ = (3q)³ + (2)³ + 3.3q.2.(3q + 2)

a³ = (3q)³ + 8 + 18q(3q + 2)

a³ = 27q³  + 8 + 18q(3q + 2)

a³ = 27q³ + 18q(3q + 2) + 8

a³ = 27q³ + 54q² + 36q) + 8

a³ = 9(3q³ + 6q² + 4q) + 8

a³ = 9m + 8

जहाँ m = 3q³ + 6q² + 4q