10.2 10

प्रश्न – 10 सिध्द कीजिये कि किसी बाह्य बिंदु से किसी वृत्त पर खीची गई स्पर्श रेखाओ के बीच का कोण स्पर्श बिंदुओ को मिलाने वाले रेखाखंड द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण संपूरक होता है ।

हल – माना किसी वृत्त के बाहर कोई बिंदु P है । तथा स्पर्श रेखाएँ PQ और PR है ।

सिध्द करना है –

उपपत्ति –

∠QPR + ∠QOR = 180^o

ΔAOB तथा ΔPRO मे

PQ = PR  [ स्पर्श रेखाएँ है ]

PO = PO  [ उभयनिष्ठ भुजा है ]

OQ = OR  [ एक हि वृत्त की त्रिज्याएँ है ]

ΔPQO ≅ ΔPRO  { भुजा – भुजा – भुजा सर्वांगसमता से } 

∴ ∠QPO = ∠OPR  { स.त्रि.सं.अ }

∠QOP = ∠POR 

∠QPR = ∠QPO + ∠OPR

∠QPR = ∠QPO + ∠QPO

∠QPR = 2∠QPO  --------(i)

∠QOR = ∠QOP + ∠POR

∠QOR = ∠QOP + ∠QOP

∠QOR = 2∠QOP --------(ii)

ΔQPO मे

 90^o + ∠QPO + ∠QOP = 180^o

∠QPO + ∠QOP = 180^o - 90^o

∠QPO + ∠QOP = 90^o

∠QPR/2 + ∠QOR/2 = 90^o

(∠QPR + ∠QOR) / 2 = 90^o

∠QPR + ∠QOR = 180^o

सिध्द हुआ