7.3 3

प्रश्न – 3 शीर्षो (0, -1) (2, 1) और (0, 3) वाले त्रिभुजो की भुजाओ के मध्य बिंदुओ से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये । इस क्षेत्रफल का दिये हुए त्रिभुज के क्षेत्रफल के साथ अनुपात ज्ञात कीजिये।

हल – माना  

A(0, -1)

B(2, 1)

C(0, 3)

∴ Δ ABC का क्षेत्रफल  =

= ½ [x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]

= ½ [ 0(1 – 3) + 2(3 + 1) + 0(-1 - 1)]

= ½ [ 0 + 8 + 0]

= ½ [ 8 ]

= 4 वर्ग इकाई

अत: Δ ABC का क्षेत्रफल 4 वर्ग इकाई

 Δ ABC की प्रत्येक भुजा के मध्य बिंदु को मिलाने पर माना Δ PQR बनता है।

तब

बिंदु P के निर्देशांक

= ( (2+0)/2 ,  (1-1)/2  )

= ( 2/2,  0/2 )

= ( 1, 0 )

बिंदु Q के निर्देशांक

= ( (0+0)/2 ,  (-1+3)/2  )

= ( 0/2,  2/2 )

= ( 0, 1 )

बिंदु R के निर्देशांक

= ( (2+0)/2 ,  (1+3)/2  )

= ( 2/2,  4/2 )

= ( 1, 2 )

अब पुन: माना

x₁ = 1,   y₁ = 0

x₂ = 0,   y₂ = 1

x₃ = 1,   y₃ = 2

∴ Δ PQR का क्षेत्रफल  =

= ½ [x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]

= ½ [ 1(1 – 2) + 0(2 - 0) + 1(0 - 1)]

= ½ [ -1 + 0 - 1]

= ½ [ -2 ]

= -1 वर्ग इकाई

∵  क्षेत्रफल ऋणात्मक नही होता

∴  Δ PQR का क्षेत्रफल  = 1 वर्ग इकाई

Δ ABC का क्षेत्रफल / Δ PQR का क्षेत्रफल  = 4/1

                                     = 4 : 1