8.4 5(iii)

प्रश्न – 5 निम्न लिखित सर्वसमिकाओ को सिध्द कीजिये, जहाँ सम्मिलित कोण न्युनकोण है जिसके लिये व्यंजक परिभाषित है ।

(iii) tanθ /(1 – cotθ)  +  cotθ /(1 – tanθ)   =  1 + secθcosθ

हल –  L.H.S लेने पर

= tanθ /(1 – cotθ)  +  cotθ /(1 – tanθ)  

= sinθ/cos /(1 – cosθ/sinθ)  +  cosθ/sinθ /(1 – sinθ/cosθ)

= sinθ/cos /( (sinθ – cosθ)/sinθ )  +  cosθ/sinθ /( (cosθ – sinθ)/cosθ )

= sinθ/cosθ x sinθ/(sinθ – cosθ)  +  cosθ/sinθ x cosθ/(cosθ – sinθ)

= sin²θ/ cosθ(sinθ – cosθ)  +  cos²θ/ sinθ(cosθ – sinθ)

= sin²θ/ cosθ(sinθ – cosθ)  -  cos²θ/ sinθ(sinθ – cosθ)

= (sin³θ - cos³θ)  /  cosθsinθ(sinθ – cosθ)

= (sinθ - cosθ)(sin²θ + cos²θ + sinθcosθ) /  cosθsinθ(sinθ – cosθ)

= (sin²θ + cos²θ + 2sinθcosθ) / cosθsinθ

                                         { sin²θ + cos²θ = 1 }

= (1 + sinθcosθ) / cosθsinθ

= 1/cosθsinθ  +   sinθcosθ/cosθsinθ

= 1/cosθ  . 1/sinθ  + 1

= secθ.cosesθ + 1 

= 1 + secθ.cosesθ = R.H.S

L.H.S = R.H.S